四个“反向 / companion”不等式（按“缺口坐标”统一构造）
0) 统一记号
- \(n\ge 2\)。
- 当 \(p>1\) 时，令 \(q=\dfrac{p}{p-1}\)，则 \(\dfrac1p+\dfrac1q=1\)。
- 默认相应表达式取非负/正值以保证幂、根号、对数有意义。
1) Cauchy ⇔ Aczél（\(p=2\)）
定理Aczél 不等式
若
\[
a_1^2\ge\sum_{i=2}^n a_i^2,\qquad b_1^2\ge\sum_{i=2}^n b_i^2,
\]
则
\[
\Bigl(a_1b_1-\sum_{i=2}^n a_ib_i\Bigr)^2
\ge
\Bigl(a_1^2-\sum_{i=2}^n a_i^2\Bigr)
\Bigl(b_1^2-\sum_{i=2}^n b_i^2\Bigr).
\]
等价形式：
\[
\sqrt{a_1^2-\sum_{i=2}^n a_i^2}\;
\sqrt{b_1^2-\sum_{i=2}^n b_i^2}
\le
a_1b_1-\sum_{i=2}^n a_ib_i.
\]
证明判别式 / 二次型法
令
\[
f(t)=(a_1t-b_1)^2-\sum_{i=2}^n (a_it-b_i)^2
=\alpha t^2-2\beta t+\gamma,
\]
其中
\[
\alpha=a_1^2-\sum_{i=2}^n a_i^2\ge0,\quad
\beta=a_1b_1-\sum_{i=2}^n a_ib_i,\quad
\gamma=b_1^2-\sum_{i=2}^n b_i^2\ge0.
\]
注意
\[
f(t)=\|(a_1,-a_2,\dots,-a_n)t-(b_1,-b_2,\dots,-b_n)\|_2^2\ge0
\quad(\forall t\in\mathbb R).
\]
因此二次多项式判别式 \(\Delta=4(\beta^2-\alpha\gamma)\le0\)， 即 \(\beta^2\ge\alpha\gamma\)，得证。
2) Minkowski ⇔ Bellman（一般 \(p\ge1\)）
定理Bellman 不等式
若
\[
a_1^p\ge\sum_{i=2}^n a_i^p,\qquad b_1^p\ge\sum_{i=2}^n b_i^p\qquad (p\ge1),
\]
则
\[
\Bigl(a_1^p-\sum_{i=2}^n a_i^p\Bigr)^{1/p}
+
\Bigl(b_1^p-\sum_{i=2}^n b_i^p\Bigr)^{1/p}
\le
\Bigl((a_1+b_1)^p-\sum_{i=2}^n (a_i+b_i)^p\Bigr)^{1/p}.
\]
证明缺口坐标 + Minkowski
令
\[
A=\Bigl(a_1^p-\sum_{i=2}^n a_i^p\Bigr)^{1/p},\qquad
B=\Bigl(b_1^p-\sum_{i=2}^n b_i^p\Bigr)^{1/p}.
\]
构造向量
\[
x=(A,a_2,\dots,a_n),\qquad y=(B,b_2,\dots,b_n).
\]
对 \(p\)-范数用 Minkowski：
\[
\|x+y\|_p\le\|x\|_p+\|y\|_p.
\]
展开：
\[
\Bigl((A+B)^p+\sum_{i=2}^n(a_i+b_i)^p\Bigr)^{1/p}
\le
\Bigl(A^p+\sum_{i=2}^n a_i^p\Bigr)^{1/p}
+
\Bigl(B^p+\sum_{i=2}^n b_i^p\Bigr)^{1/p}.
\]
又因 \(A^p+\sum_{i=2}^n a_i^p=a_1^p\)、\(B^p+\sum_{i=2}^n b_i^p=b_1^p\)，右边为 \(a_1+b_1\)。 移项即得
\[
A+B\le\Bigl((a_1+b_1)^p-\sum_{i=2}^n (a_i+b_i)^p\Bigr)^{1/p}.
\]
3) Hölder ⇔ A–P–V–P（Aczél–Popoviciu 型，\(p,q\) 共轭）
定理Aczél–Popoviciu / A–P–V–P 基本型
取 \(p>1\)，\(q=\dfrac{p}{p-1}\)。若
\[
a_1^p>\sum_{i=2}^n a_i^p,\qquad b_1^q>\sum_{i=2}^n b_i^q,
\]
则
\[
\Bigl(a_1^p-\sum_{i=2}^n a_i^p\Bigr)^{1/p}
\Bigl(b_1^q-\sum_{i=2}^n b_i^q\Bigr)^{1/q}
\le
a_1b_1-\sum_{i=2}^n a_ib_i.
\]
证明缺口坐标 + Hölder
令
\[
X=\Bigl(a_1^p-\sum_{i=2}^n a_i^p\Bigr)^{1/p},\qquad
Y=\Bigl(b_1^q-\sum_{i=2}^n b_i^q\Bigr)^{1/q}.
\]
对扩展序列 \((X,a_2,\dots,a_n)\) 与 \((Y,b_2,\dots,b_n)\) 用 Hölder：
\[
XY+\sum_{i=2}^n a_ib_i
\le
\Bigl(X^p+\sum_{i=2}^n a_i^p\Bigr)^{1/p}
\Bigl(Y^q+\sum_{i=2}^n b_i^q\Bigr)^{1/q}
=
a_1b_1.
\]
移项得证。
4) Log-sum ⇔ Gibbs（KL 非负的“缺口 companion”）
母式Log-sum 不等式
对 \(a_i,b_i>0\)，
\[
\sum_{i=1}^n a_i\log\frac{a_i}{b_i}
\ge
\Big(\sum_{i=1}^n a_i\Big)\log\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{\sum_{i=1}^n b_i}.
\]
若 \(\sum a_i=\sum b_i\)（例如 \(p,q\) 为概率分布），得到 Gibbs：
\[
\sum_{i=1}^n p_i\log\frac{p_i}{q_i}\ge0.
\]
定理Gibbs 的“缺口 companion”形式
设 \(p_i,q_i>0\) 且（可重排指标）
\[
p_1\ge\sum_{i=2}^n p_i,\qquad q_1\ge\sum_{i=2}^n q_i.
\]
令缺口
\[
A=p_1-\sum_{i=2}^n p_i,\qquad B=q_1-\sum_{i=2}^n q_i\quad(\ge0),
\]
则
\[
p_1\log\frac{p_1}{q_1}
\le
A\log\frac{A}{B}+\sum_{i=2}^n p_i\log\frac{p_i}{q_i}.
\]
证明缺口坐标 + log-sum
对扩展序列
\[
(a_0,a_2,\dots,a_n)=(A,p_2,\dots,p_n),\qquad
(b_0,b_2,\dots,b_n)=(B,q_2,\dots,q_n)
\]
应用 log-sum：
\[
A\log\frac{A}{B}+\sum_{i=2}^n p_i\log\frac{p_i}{q_i}
\ge
\Bigl(A+\sum_{i=2}^n p_i\Bigr)\log\frac{A+\sum_{i=2}^n p_i}{B+\sum_{i=2}^n q_i}
=
p_1\log\frac{p_1}{q_1}.
\]
即得结论。
取等条件同 log-sum：\(\frac{A}{B}=\frac{p_2}{q_2}=\cdots=\frac{p_n}{q_n}\)。
备注：若“首项占优”条件不满足，可通过合并若干坐标成一组后再做“缺口坐标”构造，以保证缺口非负。